BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Guna menunjang dan
mampermudah pemahaman materi ukuran keragaman data, peluang dan peubah acak
diskrit kami menyusun makalah ini dengan dilengkapi oleh tabel-tabel,
rumus-rumus dan grafik. Dalam makalah ini kami akan memaparkan materi ukuran keragaman data yang diantaranya
ragam (variansi), simpangan baku (standar deviasi), peluang, peubah acak
diskrit, sebaran peluang pada peubah acak diskrit, macam-macam distribusi
peluang acak diskrit. Makalah ini disusun beradasarakan referensi yang dapat
dipercaya.
B. Rumusan Masalah
Untuk mendalami pengetahuan dalam makalah ini, maka kami susun rumusan
masalah sebagai berikut :
1. Apa saja yang termasuk dalam ukuran keragaman data?
2. Bagaimana pengertian dan pembahasan tentang variansi, simpangan baku,
peluang, dan peubah acak diskrit?
3. Bagaimana sebaran peluang pada peubah acak diskrit?
C. Tujuan Pembahasan
1. Untuk mengetahui macam-macam ukuran keragaman data.
2. Untuk mengetahui pengertian dan pembahasan tentang variansi, simpangan
baku, peluang, dan peubah acak diskrit.
3. Untuk mengetahui sebaran peluang pada peubah acak diskrit.
BAB II
PEMBAHASAN
A. UKURAN KERAGAMAN DATA
Setelah kita pelajari ukuran pemusatan data dan ukuran letak, satu
lagi ukuran yang harus diketahui adalah ukuran keragaman. Ukuran keragaman menggambarkan bagaimana
berpencarnya data atau menggambarkan seberapa jauh data menyebar dari
rata-ratanya. Ukuran keragaman data yang sering digunakan antara lain: jangkauan/rentang (range), rentang
antar kuartil (RAK), simpangan kuartil (SK), ragam (variansi), dan simpangan
baku (standar deviasi).
1) Jangkauan/Rentang (Range)
Merupakan
bentuk paling sederhana dari ragam variansi. Rentang data adalah beda
pengamatan terbesar dan terkecil dalam kumpulan data tersebut.
Perhitungan nilai rentang data yaitu:
R
= data tertinggi – data terkecil
Contoh :
Data
nilai UAS statistika 90, 80, 70, 90, 70,100, 80, 50, 75, 70
maka rentang atau jangkauannya = 100 – 50 =
50
2) Rentang Antar Kuartil (RAK)
Merupakan selisih antar kuartil ketiga
dengan kuartil pertama, dengan rumus :
RAK =
-
RAK = rentang antar kuartil
= kuartil ketiga
= kuartil pertama
Contoh:
Diketahui data pada contoh kuartil
berkelompok, maka didapat:
=
68,5
= 87,3
Jadi: RAK = 87,3 – 68,5 = 18,8
3)
Simpangan
Kuartil (SK)
Simpangan
kuartil adalah setengah dari RAK, dengan rumus :
SK =
RAK atau
SK =
(
-
)
Contoh:
Diketahui data pada contoh kuartil
berkelompok, maka didapat:
= 68,5
= 87,3
Jadi:
SK =
(87,3
– 68,5) = 9,4
4)
Ragam (Variansi)
Ragam atau
variansi untuk data populasi diberi simbol
, sedangkan
ragam atau variansi untuk sampel diberi simbol
. Ragam adalah harga penyimpangan/deviasi yang juga
memperhitungkan deviasi tiap data terhadap meannya (rata-ratanya).
a. Rumus variansi (
atau
) untuk data tunggal
1. Untuk data sampel
=
atau
=
atau
=
⇔
=
2. Untuk data populasi
=
atau
=
atau
=
⇔
=
Contoh:
Diperoleh data sampel hasil pengukuran
lingkar pinggang 8 orang anak sebagai berikut
25, 30, 12, 15, 30, 17, 23, 27. Hitung
variansi dari kedelapan anak tersebut!
Jawab:
Pencarian variansi data tunggal
X
|
|
25
|
625
|
30
|
900
|
12
|
144
|
15
|
225
|
30
|
900
|
17
|
289
|
23
|
529
|
27
|
729
|
179
|
4341
|
Berdasarkan data tersebut, maka didapat:
=
=
=
=
= 47,98
b. Rumus variansi (
atau
) untuk data berkelompok
1. Untuk data sampel:
=
atau
=
=
2. Untuk data populasi:
=
atau
=
⇔
Contoh:
Berat sampel 30 orang siswa disajikan dalam tabel distribusi frekuensi
sebagai berikut:
Berat
|
Frekuensi
|
47 – 49
|
3
|
50 – 52
|
6
|
53 – 55
|
9
|
56 – 58
|
7
|
59 – 61
|
5
|
Tentukan nilai variansi dari data diatas!
Jawab:
Berat
|
.
|
2
|
2
|
||
47 – 49
|
3
|
48
|
144
|
2304
|
6912
|
50 – 52
|
6
|
51
|
306
|
2601
|
15606
|
53 – 55
|
9
|
54
|
486
|
2916
|
26244
|
56 – 58
|
7
|
57
|
399
|
3249
|
22743
|
59 – 61
|
5
|
60
|
300
|
3600
|
18000
|
30
|
1635
|
89505
|
Maka berdasarkan data tersebut didapat:
=
=
2
=
2
=
2 = 13,71
5) Simpangan Baku (Standar Deviasi)
Simpangan baku adalah suatu nilai yang menunjukkan
tingkat atau derajat variasi kelompok data atau ukuran standar penyimpangan
dari mean atau atau reratanya. Simpangan baku (standar deviasi) merupakan akar
kuadrat dari variansi suatu data.
a. Simpangan Baku (Standar Deviasi) untuk data tunggal
1. Rumus untuk data sampel
S =
atau
S =
S =
2. Rumus untuk data populasi
=
atau
=
⇔
=
Contoh:
Diketahui nilai UTS Statistika Mahasiswa
IAIN diambil sampel seperti tabel berikut. Hitung simpangan baku dari 10 sampel
mahasiswa tersebut!
Jawab:
Pencarian Simpangan Baku dari Data Tunggal
No
|
X
|
|
1
|
75
|
5625
|
2
|
70
|
4900
|
3
|
80
|
6400
|
4
|
85
|
7225
|
5
|
60
|
3600
|
6
|
75
|
5625
|
7
|
100
|
10000
|
8
|
90
|
8100
|
9
|
95
|
9025
|
10
|
75
|
5625
|
N = 10
|
= 805
|
= 66125
|
Berdasarkan
data tersebut, maka didapat:
s
=
s
=
s =
s
=
s =
s =
s = 12,12
B. PELUANG
1.
Konsep
Peluang
Peluang suatu
peristiwa adalah harga yang menunjukan beberapa besar kemungkinan bahwa
peristiwa itu terjadi.
2.
Pengertian
Percobaan ( Eksperimen )
Percobaan
adalah segala peroses observasi atau
pengukuran yang hasilnya mengandung ketidaktentuan.
Contoh :
(1)
Percobaan melambungkan sebuah logam sebanyak
satu kali, hasil yang mungkin : muncul gambar (G) atau angka (A).
(2)
Percobaan melambungkan sebuah dadu bersisi 6.
Hasil yang mungkin : muncul mata 1 atau 2 atau 3atau 4 atau 5 atau 6.
3.
Pengertian
Ruang Sampel, Titik Sampel, dan kejadian
1)
Ruang
sampel (S) adalah himpuan yang menyatakan semua kemungkinan yang bisa terjadi
dalam satu percobaan.
2)
Titik
sampel adalah anggota dari ruang sampel atau hal yang terjadi dalam percobaan.
3)
Kejadian/event/peristiwa
adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
contoh :
Pada percobaan pelampungan sebuah logam satu kali ruang sampel : S
= {GA} titik sampel adalah G dan A ,
banyak titik sampel adalah 2. {G} adalah kejadian munculnya gambar, {A} adalah
kejadian munculya angka.
4.
Aturan
Peluang
Aturan peluang
adalah cara mengawankan setiap hasil percobaan dengan tepat 1 bilangan real p
dengan 0 < p < 1 atau 0 = p =1. Jika a kawan p maka pelung A yaitu P(A) =
P.
Sifat Peluang
Peluang dalam
ruang sampel memenuhi 2 sifat antara lain :
1)
Jika
A suatu hasil percobaan, maka peluangnya P(A) bernilai : 0 < P < 1 atau 0
= P =1.
2)
Jumlah
peluang semua hasil percobaan = 1 yaitu P(S) = 1
5.
Peluang
Suatu Kejadian
Rumus : P(K) =
Contoh:
Sebuah dadu
dilemparkan satu kali. Misalkan K kejadian munculnya mata dadu > 3. Berapakah peluang kejadian K ?
Penyelesaian :
S = {1, 2, 3,
4, 5, 6} → n(S) = 6
K = {4, 5, 6}→
n(K) = 3
P(K) =
=
6.
Macam-macam
kejadian
a.
Kejadian
majemuk
Merupakan kejadian yang terdiri dari
dua kejadian atau lebih dalam suatu percobaan. Misalnya pada percobaan
relambingan satu dadu bermata 6, satu kali di tulis S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)→
n(S) = 6. Kejadian A adalah munculnya
mata bilangan genap ditulis A = (2, 4, 6)→ n(A) = 3 dan B kejadian munculnya
mata kelipatan 3 di tulis B = (3, 6) → n(B) = 2.
Keterangan
:
v A dan B =AᴖB adalah kejadian kejadian yang muncul mata
bilangan genap dan kelipatan.
3→ AᴖB
= (6) → n(AᴖB) = 1.
v A atau B = A ᴗ B adalah kejadian kejadian yang muncul mata
bilangan genap atau yang muncul bilangan kelipatan 3.
→
berlaku : n(A ᴗ B) = n(A) + n(B) - n(AᴖB)
→
=
+
-
→ P(A ᴗ B) = P(A) + P(B) – P(AᴖB)
Dengan
demikian peluang kejadian majemuk A ᴗ B pada percobaan di atas adalah P(A ᴗ
B) = P(A) + P(B) – P(AᴖB)
=
+
-
=
=
b.
Kejadian
saling lepas
Jika
dua kejadian atau lebih tidak mungkin terjadi bersama-sama, maka kejadian itu
disebut “saling lepas”. Dengan kata lain kejadian itu tidak beririsan.
Kita
ketahui : bahwa P (A ᴗ B) = P(A) +
P(B) – P(AᴖB)
Jika
kejadian A dan B saling lepas
→
n(AᴖB) = 0, dan P(AᴖB) = 0
→ P (A ᴗ
B) = P(A) + P(B) – P(AᴖB)
= P(A) + P(B) – 0
→ P (A ᴗ B) = P(A) + P(B)
c.
Kejadian
komplementer
Komplemen
kejadian A adalah kejadian A’ atau A̅ berupa himpunan semua titik sempel dalam
S yang tidak dalam kejadian A.
Tampak bahwa A ᴖ
A’ = Ø sehingga n(A ᴖ A’) = 0 dan
(A ᴖ A’) = S
sehingga n(A ᴗ A’) = n (S)
n(A ᴗ A’) =
n(A) + n (A’) – n(A ᴖ A’).
= n(A) + n (A’) – 0
(S) = n(A) + n (A’)
=
+
1 = P(A) + P(A’)
P(A’) = 1- P(A)
d.
Kejadian
saling bebas
Dua kejadian di katakan “saling Bebas” , dengan syarat kejadian
yang satu tidak mempengaruhi kejadian lainnya.
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
||
1
|
(1,1)
|
(1,2)
|
(1,3)
|
(1,4)
|
(1,5)
|
(1,6)
|
|
2
|
(2,1)
|
(2,2)
|
(2,3)
|
(2,4)
|
(2,5)
|
(2,6)
|
|
3
|
(3,1)
|
(3,2)
|
(3,3)
|
(3,4)
|
(3,5)
|
(3,6)
|
|
4
|
(4,1)
|
(4,2)
|
(4,3)
|
(4,4)
|
(4,5)
|
(4,6)
|
|
5
|
(5,1)
|
(5,2)
|
(5,3)
|
(5,4)
|
(5,5)
|
(5,6)
|
|
6
|
(6,1)
|
(6,2)
|
(6,3)
|
(6,4)
|
(6,5)
|
(6,6)
|
|
AᴖB Kejadian B kejadian A
S = {(1,1), (1,2),..., (1,6),
(2,1),..., (2,6), (3,1),..., (3,6), (4,1),..., (4,6),(5,1),..., (5,6),
(6,1),... (6,6) }
→ n(S) = 36
Munculnya mata
dadu 5 pada pelemparan I tidak ada hubungannya dengan munculnya mata dadu 2
pada lemparan II. Berapakah peluang munculnya mata
dadu 5 pada lemparan I dan munculnya mata dadu 2 pada lemparan II?
Muncul mata
dadu 5 pada pelemparan I ada 6 kemungkinan :
A = {(5,1),
(5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}
→ n(A) = 6 dan P(A) =
=
Muncul mata
dadu 2 pada lemparan II ada 6 kemungkinan
:
B = {(1,2),
(2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)}
→ n(B) = 6 dan
P(B) =
=
Munculnya mata
5 pada lemparan I dan lemparan 2 pada lemparan II hanya ada 1 kemungkinan.
Lihat irisan A dan B yaitu A ᴖ B = {(5,2)}
→ n(AᴖB)
= 1 dan P(AᴖB) =
=
Perhatikan
bahwa P(AᴖB) = P(A) x P(B)
=
x
=
Jika kejadian A
dan B adalah 2 kejadian yang saling bebas maka :
P(AᴖB) = P(A) x P(B)
C. PEUBAH ACAK DISKRIT
Peubah Acak (Random Variable) Sebuah keluaran
numerik yang merupakan hasil dari percobaan (eksperimen). Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata. Untuk
setiap anggota dari ruang sampel percobaan, peubah acak biasa mengambil tepat
satu nilai. Misal S adalah ruang
sampel. Fungsi X yang memetakan setiap anggota ruang sampel S ke suatu bilangan
real disebut
peubah acak. Peubah Acak
dituliskan sebagai huruf kapital (X, Y, Z). Nilai-nilai tertentu atau nilai pubah acak yang merupakan keluaran percobaan dituliskan dengan
huruf kecil (x, y, z). Peubah acak
diskrit adalah peubah
acak yang dapat mengambil nilai - nilai yang
terbatas atau nilai yang tidak terbatas tapi dapat dicacah.
Sebagai contohnya :
1) Pada percobaan melambungkan satu mata uang logam setimbang satu
kali, misalkan yang diperhatikan adalah sisi mata uang yang muncul yaitu Angka
(A) atau Gambar (G), maka ruang sampel S= {A,G}. Misal X adalah peubah acak
yang menyatakan frekuensi munculnya gambar, maka nilai-nilai X yang mungkin
adalah 0 atau 1.
Himpunan semua nilai X yang mungkin dinotasikan dengan X(S),
sehingga untuk contoh di atas X(S)={0,1}.
2)
Seorang
petugas bagian penerima dan pemeriksa barang di suatu departemen bertugas untuk
mengamati barang-barang elektronik yang diterima oleh departemen tersebut
apakah baik (B) atau cacat (C). Karena adanya keterbatasan waktu, petugas
tersebut tidak dapat mengecek semua barang yang masuk melainkan hanya akan
mengambil secara acak 3 barang saja. Seluruh hasil
yang mungkin dari pengamatan petugas tersebut adalah:
S = {BBB, BBC, BCB, CBB, CCB, CBC, BCC, CCC}
Misal Y peubah acak yang menyatakan banyaknya peralatan yang cacat,
maka nilai-nilai Y yang mungkin adalah 0, 1, 2, atau 3. Jadi Y(S) = {0,1,2,3}
2)
Untuk menjawab
soal multipel choice 2 kali, maka kemungkinan yang
terjadi adalah:
S = {SS, SB,
BS, BB}
X : Peubah Acak
yang menyatakan banyaknya jawaban benar, maka nilai-nilai X yang mungkin adalah X(S) = {0,1,2}
3) Jika dua dadu (bermata enam)
dilambungkan sekali, maka ruang sampel dari percobaan tersebut dapat dinyatakan
dalam tabel berikut:
DADU
|
I
|
||||||
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
||
1
|
(1,1)
|
(1,2)
|
(1,3)
|
(1,4)
|
(1,5)
|
(1,6)
|
|
2
|
(2,1)
|
(2,2)
|
(2,3)
|
(2,4)
|
(2,5)
|
(2,6)
|
|
II
|
3
|
(3,1)
|
(3,2)
|
(3,3)
|
(3,4)
|
(3,5)
|
(3,6)
|
4
|
(4,1)
|
(4,2)
|
(4,3)
|
(4,4)
|
(4,5)
|
(4,6)
|
|
5
|
(5,1)
|
(5,2)
|
(5,3)
|
(5,4)
|
(5,5)
|
(5,6)
|
|
6
|
(6,1)
|
(6,2)
|
(6,3)
|
(6,4)
|
(6,5)
|
(6,6)
|
Misal T merupakan peubah acak yang menyatakan jumlah mata dadu
yang muncul, maka T(S)= {2,3,4, ..., 12}
D. SEBARAN PELUANG PADA PEUBAH ACAK DISKRIT
Sebaran peluang dari peubah acak X adalah suatu gambaran nilai
peluang untuk masing-masing nilai yang mungkin bagi X.
Untuk suatu peubah acak diskrit, sebaran
peluang dapat berupa:
a.
Daftar/tabel seluruh nilai yang mungkin
bagi X dengan peluangnya masing-masing.
b.
Rumus/fungsi yang digunakan untuk
menghitung peluang dengan menggunakan nilai peubah acak X sebagai input.
Fungsi peluang peubah acak X
dinotasikan dengan f(x) didefinisikan sebagai f(x)=P(X=x). (f(x) didefinisikan
sebagai peluang X=x). Fungsi
f(x) adalah suatu fungsi peluang atau sebaran peluang dari peubah
acak X jika, untuk setiap hasil yang muncul x berlaku :
1. f(x) ≥ 0
2.
= 1
3. P (X = x) = f(x)
Contoh:
1) Hasil eksperimen pelemparan sekeping mata uang dengan sisi
mata uang yang muncul yaitu Angka (A) atau Gambar (G) sebanyak 3 kali maka diperoleh:
S =
{AAA,AAG,AGA,GAA,AGG,GAG,GGA,GGG}
x = {0, 1, 2, 3} (banyaknya
sisi muka = A atau G yang muncul)
P(X) =
Sebaran peluangnya menjadi:
X = x
|
0
|
1
|
2
|
3
|
f(x)=P(X=x)
|
1/8
|
3/8
|
3/8
|
1/8
|
P
, untuk x = 0,3
f(x) = P
, untuk x = 1,2
0
,
untuk x lainnya
Jawaban nilai f(x) yang
dinyatakan dalam bentuk tabel :
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
f(x)=P(X=x)
|
Tabel di atas merupakan tabel sebaran peluang peubah diskret X.
Apabila kita akan
menggambar grafik dari fungsi nilai f(x), maka grafiknya dapat berupa diagram
batang atau histogram peluang.
·
Grafik berupa diagram batang :
P(X)
0 1 2 3 X
·
Grafik berupa histogram peluang:
P(X)
0
1 2 3 X
E. MACAM-MACAM DISTRIBUSI PELUANG ACAK DISKRIT
Distribusi peluang peubah acak yang bersifat diskrit yang sering
digunakan yaitu distribusi binominal, distribusi multinominal, distribusi
hipergeometrik dan distribusi passion.
1) Distribusi Binominal
Yaitu, jumlah percobaan yang tetap (n). Setiap
percobaan hanya terdiri dari berhasil atau gagal. Contohnya, pada saat ujian
2) Distribusi multinomial
Merupakan percobaan yang setiap ulangnya akan menghasilkan
lebih dari 2 kemungkinan. Seperti misalnya “berhasil”, “nyaris berhasil”, atau
“gagal”
3) Distribusi hipergeometrik
Merupakan bentuk probabilitas tanpa pemulihan yaitu
setiap pencuplikan data yang telah diamati atau diambil tidak dimasukkan kembali dalam
populasi semula.
4) Distribusi poisson
Merupakan disribusi peubah acak dimana hasil percobaan
terjadi selama waktu tertentu di suatu daerah tertentu. Contohnya: Jumlah cacat
pada setiap meter kabel.
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Ukuran keragaman data menggambarkan bagaimana berpencarnya data atau
menggambarkan seberapa jauh data menyebar dari rata-ratanya. Ukuran keragaman data yang sering digunakan antara lain: jangkauan/rentang (range), rentang antar kuartil (RAK), simpangan kuartil
(SK), ragam (variansi), dan simpangan baku (standar deviasi). Peluang merupakan teori dasar
stastistika, suatu disiplin ilmu yang mempelajari pengumpulan, pengaturan,
perhitungan, penggambaran dan penganalisisan data, serta penarikan kesimpulan
yang valid berdasarkan penganalisisan yang dilakukan dan pembuatan keputusan
yang rasional.
Dalam mempelajari peluang, dapat menggunakan konsep
permutasi, kombinasi dan peluang untuk menyelesaikan masalah dalam Matematika
atau bidang lain. Misal S adalah ruang sampel. Fungsi X yang
memetakan setiap anggota ruang sampel S ke suatu bilangan real disebut
peubah acak. Untuk suatu peubah acak diskrit, sebaran
peluang dapat berupa:
a.
Daftar/tabel seluruh nilai yang mungkin
bagi X dengan peluangnya masing-masing.
b.
Rumus/fungsi yang digunakan untuk
menghitung peluang dengan menggunakan nilai peubah acak X sebagai input.
No comments:
Post a Comment